미분방정식의 정의와 분류: 상/편미분, 계수, 선형성
레온하르트 오일러의 초상화. 1753년 에마누엘 한트만 그림
미분방정식의 정의와 분류: 상/편미분, 계수, 선형성
자연의 변화율을 기술하는 수학적 언어
변화의 법칙을 방정식으로 번역하다
이번 시간에는 미분방정식의 정의와 분류: 상/편미분, 계수, 선형성에 대해 알아보겠습니다. 이때 본격적인 이야기에 앞서 고등학교 시절에 배운 두 가지 기초 개념부터 가볍게 짚고 넘어가겠습니다. 실제로 우리가 흔히 풀던 대수방정식 $x^2 - 5x + 6 = 0$은 보물지도에서 숨겨진 보물의 정확한 좌표 숫자 $x$ 하나를 찾아내는 게임과 같습니다. 또한 반면 오늘부터 다룰 미분방정식은 정지된 숫자가 아니라, 시간이나 공간에 따라 시시각각 변하는 ‘함수’ 자체를 찾아내는 전혀 다른 차원의 도구입니다.
여기서 ‘미분’이라는 말의 뜻부터 손에 잡히는 비유로 다시 확인해 볼까요? 가령 자동차를 타고 고속도로를 달릴 때 계기판의 바늘이 가리키는 ‘현재 순간의 속도’가 바로 미분, 즉 도함수(derivative)입니다. 한편 방금 출발한 지 1시간 만에 100km를 갔더라도 지금 이 순간 시속 120km로 달리고 있다면 순간 변화율은 120인 셈이지요. 이처럼 어떤 대상의 현재 상태($y$)와 그 상태가 변하는 속도($y'$) 사이의 관계를 수식으로 묶어 놓은 것이 바로 미분방정식(differential equation)입니다 [1].
실제로 용어의 어원을 들여다보면 그 의미가 더욱 선명하게 다가옵니다. 따라서 ‘미분(微分)‘은 미세하게 쪼개어 나눈다는 한자어이고, ‘방정식(方程式)‘은 양변의 균형을 맞추는 식이라는 뜻입니다. 즉, 아주 짧은 순간의 변화량들을 쪼개어 현재의 상태와 짝지어 놓은 균형 식이라는 의미이지요. 이처럼 수학사의 거장 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) 역시 유체와 천체의 움직임이라는 복잡한 자연 현상을 이 보편적인 언어로 번역하여 수많은 난제를 해결했습니다 [1], [5].
이처럼 자연의 법칙은 사물이 가만히 멈춰 있을 때보다 움직이며 변할 때 비로소 본질을 드러냅니다. 우선 아이작 뉴턴의 운동 제2법칙 $F = ma$를 한 번 떠올려 보시겠습니까? 여기서 가속도 $a$는 위치 $y(t)$의 순간 변화율인 속도 $v(t) = \frac{dy}{dt}$가 다시 시간에 따라 변하는 비율, 즉 2계 도함수 $y''(t) = \frac{d^2y}{dt^2}$입니다. 따라서 힘 $F$가 시간, 위치, 속도에 따라 달라질 때 뉴턴의 법칙은 곧바로 $m \frac{d^2y}{dt^2} = F\left(t, y, \frac{dy}{dt}\right)$라는 미분방정식으로 변신합니다 [2].
실제로 우리 주변의 거의 모든 현상이 이 원리를 따릅니다. 가령 뜨거운 커피가 식어가는 과정이나 방사성 물질이 줄어드는 현상도 현재 상태와 변화율의 관계로 설명됩니다. 즉 심지어 전기 회로의 전류 흐름, 전염병의 확산 속도, 금융 시장의 파생상품 가격 변동까지도 모두 미분방정식으로 기술되지요 [3]. 이때 수학적으로 엄밀하게 적자면 독립변수 $x$, 종속변수 $y = y(x)$, 그리고 도함수 $y', y'', \dots, y^{(n)}$이 포함된 관계식 $F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0$을 미분방정식이라 부릅니다.
이때 방정식을 참이 되게 만드는 미분 가능한 함수 $\phi(x)$를 우리는 미분방정식의 ‘해(solution)‘라고 부릅니다. 실제로 대수방정식의 해가 수직선 위에 찍히는 고정된 ‘점’이라면, 미분방정식의 해는 좌표평면 위를 부드럽게 가로지르는 하나의 ‘곡선’이라고 보시면 됩니다 [2]. 또한 마치 내비게이션이 출발지부터 목적지까지 이어지는 전체 주행 경로를 그려주는 것과 같은 이치이지요.
“아니, 그냥 적분 한 번 쫙 하면 다 풀리는 거 아냐? 왜 굳이 미분방정식 종류를 이렇게 복잡하게 나누는 건데?”
혹시 이렇게 생각하셨다면 큰 오산입니다. 한편 독자 여러분이 품으신 의문은 아주 자연스럽지만, 안타깝게도 세상의 거의 모든 미분방정식은 단순한 적분 한 번으로 풀리지 않습니다. 따라서 대수방정식에서도 1차, 2차, 지수, 삼각방정식의 풀이법이 제각각 다르듯 미분방정식도 구조에 따라 해법이 완전히 달라지기 때문입니다 [5]. 이처럼 유능한 의사가 약을 처방하기 전에 병명부터 정확히 진단하듯, 공학자도 방정식을 보자마자 세 가지 기준으로 정밀하게 분류할 줄 알아야 합니다 [3].
우선 제시된 그림에 나타난 분류 계통도를 머릿속의 지도처럼 잘 살펴보시기 바랍니다. 즉 최상단의 미분방정식은 가장 먼저 독립변수의 개수에 따라 왼쪽의 파란색 상미분방정식(ODE)과 오른쪽의 빨간색 편미분방정식(PDE)으로 나뉩니다. 이어서 각각의 갈래 아래에서 미분 횟수인 계수(Order)와 결합 형태인 선형성(Linearity)에 따라 1계 선형, 고계 선형, 비선형으로 세분화되는 것이지요. 이때 앞으로 방대한 공학수학을 공부하실 때 이 지도만 기억하시면 지금 내가 어디쯤 서 있는지 길을 잃지 않으실 겁니다.
상미분방정식(ODE)과 편미분방정식(PDE)의 분기
미분방정식을 분류하는 첫 번째 관문은 ‘변수가 몇 개인가’를 따지는 일입니다. 여기서 말하는 변수는 결과를 결정짓는 원인 역할의 독립변수(independent variable)를 뜻합니다. 실제로 일상적인 비유를 들자면, 작은 머그잔에 담긴 커피가 식는 온도를 재는 상황과 넓은 철판 위의 온도를 재는 상황을 비교해 볼 수 있습니다. 또한 머그잔은 크기가 작아 어느 곳이나 온도가 비슷하므로 오직 ‘시간 $t$’ 하나만 알면 온도를 알 수 있겠지요.
이처럼 미지의 함수 $y$가 단 하나의 독립변수에만 의존할 때 이를 상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)이라고 부릅니다 [1]. 여기서 ‘상(常, ordinary)‘이라는 한자는 특별할 것 없이 가장 기본적이고 일상적인 미분을 뜻합니다. 한편 공간적인 크기나 분포를 무시하고 물체를 하나의 점으로 단순화하는 집중 매개변수 시스템(lumped-parameter system)은 대부분 시간 $t$만을 변수로 삼는 상미분방정식으로 표현됩니다 [3]. 예를 들어 길이 $L$인 실에 매달린 단진자가 중력 $g$ 아래에서 각도 $y(t)$만큼 흔들리는 운동은 다음과 같은 상미분방정식을 따릅니다.
$$ \frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin y = 0 \quad (\text{상미분방정식}) $$따라서 반면 넓은 철판을 가열할 때는 사정이 완전히 달라집니다. 이처럼 불꽃이 닿은 가운데는 뜨겁고 가장자리는 차가우며, 게다가 시간이 지날수록 온도가 점점 퍼져 나가기 때문이지요. 즉, 철판의 온도 $u(x, t)$는 위치 $x$와 시간 $t$라는 두 개 이상의 독립변수에 동시에 의존하게 됩니다. 이때 다른 변수는 잠시 숫자로 고정해 둔 채 특정 변수 하나만 기준으로 변화율을 재는 미분을 편도함수(partial derivative)라고 부릅니다.
여기서 ‘편(偏)‘이라는 한자는 ‘한쪽으로 치우치다’라는 뜻을 담고 있습니다. 우선 여러 변수 중에서 딱 한 변수 쪽으로만 치우쳐서 미분한다는 아주 직관적인 이름이지요. 이러한 편도함수 $\frac{\partial u}{\partial t}$나 $\frac{\partial u}{\partial x}$가 식에 하나라도 들어 있으면 우리는 이를 편미분방정식(Partial Differential Equation, PDE)이라고 분류합니다 [4]. 열확산 계수 $\alpha$를 포함하여 금속 막대의 온도 변화를 설명하는 1차원 열전도방정식이 대표적인 예입니다.
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \quad (\text{편미분방정식: 1차원 열전도}) $$이 밖에도 공학과 물리학의 핵심 방정식 중 상당수가 편미분방정식의 영역에 속합니다. 즉 기타 줄의 진동을 나타내는 파동방정식 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$이나 정전기 분포를 기술하는 라플라스 방정식 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$이 모두 편미분방정식이지요. 이때 공기의 흐름을 다루는 유명한 나비에-스톡스 방정식 역시 마찬가지입니다 [4]. 일반적으로 상미분방정식의 해에는 적분상수가 포함되지만, 편미분방정식의 해에는 임의의 함수가 포함되며 경계조건까지 동시에 맞춰야 하므로 훨씬 정교한 해법이 필요합니다 [2], [4].
계수(Order)와 차수(Degree): 시스템의 동역학 결정
두 번째 분류 기준은 방정식 안에서 미분을 최대 몇 번이나 했는가를 보는 것입니다. 미분방정식의 계수(Order)란 식에 등장하는 도함수 중에서 ‘가장 많이 미분된 최고계 도함수의 미분 횟수’를 말합니다 [1], [2]. 여기서 ‘계(階)‘는 계단이나 층수를 뜻하는 한자로, 몇 단계까지 미분해서 올라갔는지를 나타낸다고 보시면 됩니다. 예를 들어 $x^2 y''' + 2(y')^4 + y = e^x$라는 식에서 $y'$는 4제곱이 되어 있지만, 미분 횟수 자체는 $y'''$가 3번으로 가장 많으므로 이 방정식은 ‘3계(3rd order)‘가 됩니다.
그런데 많은 독학자분들이 계수(Order)와 차수(Degree)를 자꾸 헷갈려 하십니다. 차수(Degree)란 식에 있는 루트나 분수 지수를 모두 없애 다항식 형태로 깔끔하게 정리했을 때, ‘최고계 도함수가 가진 거듭제곱 지수’를 뜻합니다 [3]. 방금 본 $x^2 y''' + 2(y')^4 + y = e^x$에서 최고계 도함수는 $y'''$이고 이 항의 지수는 1이므로, 이 식은 ‘3계 1차’ 미분방정식인 셈이지요. 만약 $(y'')^2 + \sqrt{y'} = x$라면 루트를 없애기 위해 양변을 제곱하여 $y' = (x - (y'')^2)^2$로 정리해야 하므로 최고계 도함수 $y''$의 최고 지수인 4를 따서 ‘2계 4차’가 됩니다. 하지만 현대 공학수학에서는 차수보다 계수와 선형성이 훨씬 더 중요하게 쓰입니다 [5].
“뭐? 미분을 한 번 더 해서 1계에서 2계가 된다는 게 물리적으로 그렇게 엄청난 차이를 만든다는 거야? 그냥 숫자 하나 늘어난 거잖아.”
얼핏 생각하면 그렇게 보일 수도 있지만, 물리적으로는 하늘과 땅 차이입니다. 계수는 단순한 숫자가 아니라 그 시스템이 가진 독립적인 ‘기억 장치’와 에너지 저장 요소의 개수를 뜻하기 때문이지요 [2], [3]. $n$계 미분방정식을 풀려면 개념적으로 $n$번을 적분해야 하므로 해 안에는 $n$개의 적분상수 $c_1, c_2, \dots, c_n$이 생깁니다. 따라서 이 상수들을 하나로 확정하려면 시작 시점 $t_0$에서 $y(t_0), y'(t_0), \dots, y^{(n-1)}(t_0)$까지 총 $n$개의 초기조건이 반드시 주어져야 합니다.
제시된 그림의 왼쪽과 오른쪽 그래프를 비교해 보시면 계수가 만드는 극적인 차이를 한눈에 알 수 있습니다. 왼쪽은 1계 방정식 $y' = -y$의 해인 지수 감쇠 곡선 $y(t) = y_0 e^{-t}$를 보여줍니다. 1계 시스템은 현재의 상태 $y(t)$ 하나만 보고 다음 움직임 $y'(t)$를 결정하므로 관성이라는 기억 장치가 전혀 없습니다. 구멍 뚫린 물통에서 물이 빠져나갈 때 수위가 낮아지면 물줄기가 약해지다가 0에서 멈출 뿐, 바닥을 뚫고 마이너스로 내려갔다가 다시 차오르지 못하는 것과 같지요. 이처럼 에너지 저장 요소가 하나뿐인 1계 시스템은 진동 없이 단조롭게 줄어들거나 커질 뿐입니다 [3].
반면 오른쪽 그림은 2계 방정식 $y'' + \omega_0^2 y = 0$의 해인 주기적 진동 곡선을 보여줍니다. 2계 시스템에는 현재 위치 $y(t)$뿐만 아니라 현재 속도 $y'(t)$라는 두 번째 상태 변수가 존재하기 때문입니다. 그네를 타고 가장 낮은 지점($y=0$)을 지날 때를 떠올려 보시겠습니까? 위치는 0이지만 그동안 모아온 속도(운동에너지)가 남아 있기 때문에 그네는 멈추지 않고 반대편으로 훌쩍 지나가 버립니다. 즉, 계수가 2계 이상이 되면 두 종류의 에너지가 서로를 주고받으며 아름다운 진동과 공진 현상을 만들어 내는 것입니다 [2], [5].
선형성과 공학 시스템 모델링
선형 미분방정식과 중첩의 원리
세 번째이자 공학 해석의 성패를 가르는 가장 결정적인 기준은 바로 선형성(Linearity)입니다. $n$계 상미분방정식이 선형(linear)이라는 것은 종속변수 $y$와 도함수 $y', y'', \dots, y^{(n)}$이 오직 1차 결합으로만 묶여 있다는 뜻입니다. 독립변수 $x$에 대한 $n$계 선형 상미분방정식의 표준형은 다음과 같이 깔끔하게 정리됩니다 [1], [2].
$$ a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x) y = g(x) $$“잠깐만! 선형이면 그래프가 무조건 직선 모양으로 나와야 하는 거 아냐? 왜 해가 사인 함수나 지수 함수 곡선으로 나오는데 선형 방정식이라고 부르는 거야?”
많은 분들이 ‘선형’이라는 단어 때문에 직선 그래프를 떠올리시곤 하지만, 전혀 그렇지 않습니다. 여기서 선형성은 해 곡선의 모양이 직선이라는 뜻이 아니라, 방정식 속에서 $y$와 그 도함수들이 서로 어떻게 결합되어 있는가를 따지는 규칙입니다. 구체적으로 두 가지 조건만 점검하시면 아주 쉽게 판별할 수 있습니다.
첫째, 주인공인 $y$와 그 도함수들 $y', y''$는 모두 지수가 1인 순수한 형태여야 합니다. 만약 $y \cdot y'$처럼 자기들끼리 곱해져 있거나 $(y')^2$, $\sin y$, $e^y$처럼 제곱이나 초월함수 안에 갇혀 있다면 선형성은 즉시 깨집니다. 둘째, 도함수 앞에 붙은 계수 $a_k(x)$와 우변의 외력 $g(x)$는 오직 독립변수 $x$만의 함수여야 합니다 [1]. 계수에 $x^3$이나 $\cos x$처럼 복잡한 식이 들어 있더라도, 주인공 $y$와 그 도함수들이 1차로만 나란히 서 있다면 정당한 선형 미분방정식인 셈이지요. 이 두 조건 중 하나라도 어기면 곧바로 비선형(nonlinear) 방정식이 됩니다 [5].
또한 선형 방정식은 우변의 $g(x)$가 0인지 아닌지에 따라 두 가지로 나뉩니다. 만약 $g(x) \equiv 0$이면 외부의 방해 없이 시스템 스스로 움직인다는 뜻에서 제차(동차, homogeneous) 선형 방정식이라 부릅니다. 반대로 $g(x) \not\equiv 0$이면 외부에서 밀어주는 힘 $g(x)$가 존재한다는 뜻에서 비제차(비동차, nonhomogeneous) 선형 방정식이라 부르지요. 선형 방정식이 공학에서 절대적인 대접을 받는 이유는 제차 방정식 $L[y] = 0$에서 그 유명한 중첩의 원리(Superposition Principle)가 성립하기 때문입니다 [2].
중첩의 원리는 자판기나 주스 믹서에 비유하면 단번에 이해가 됩니다. 동전을 2배 넣으면 음료수가 정확히 2배 나오고, 사과와 오렌지를 각각 갈아서 합친 것이 처음부터 같이 넣고 간 것과 똑같다면 그것이 바로 선형 시스템입니다. 수학적으로 미분 연산자 $L[y]$는 합과 상수배를 그대로 보존하기 때문에, 두 해 $y_1$과 $y_2$에 상수 $c_1, c_2$를 곱해 더한 $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ 역시 반드시 해가 됩니다 [1], [5].
제시된 그림을 통해 중첩의 원리가 만들어 내는 놀라운 마법을 확인해 보겠습니다. 두 개의 기저해인 파란색 점선 $y_1(x)$와 초록색 점선 $y_2(x)$가 주어졌을 때, 이들을 적당히 더해서 만든 굵은 빨간색 실선 $y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$ 역시 방정식을 완벽하게 만족합니다. 복잡한 해를 한 번에 구할 필요 없이 단순한 재료 해 몇 개만 찾은 뒤 레고 블록처럼 조립하면 모든 해를 다 얻을 수 있는 것이지요.
반면 비선형 방정식에서는 이 편리한 조립 규칙이 산산이 부서집니다. 예를 들어 $y' + y^2 = 0$에 $y_1 + y_2$를 대입하면 $(y_1 + y_2)^2$을 전개하는 과정에서 $2y_1 y_2$라는 불청객 교차항이 튀어나와 0이 되지 않기 때문입니다. 이처럼 비선형 시스템에서는 입력이 2배가 되어도 출력이 2배가 되지 않으며, 작은 오차가 폭발적으로 커지는 카오스 현상까지 나타나 공식을 세우기가 극도로 어렵습니다 [5]. 다행히 선형 시스템에서는 복잡한 외력도 단순한 파동들의 합으로 쪼개어 각각 푼 뒤 더하면 되므로 라플라스 변환이나 푸리에 급수 같은 막강한 도구들이 통하게 됩니다 [1], [3].
대표적 기계 공학 시스템: 질량-용수철-감쇠기
지금까지 배운 이론이 실제 공학 현장에서 어떻게 살아 움직이는지 직접 모델링을 통해 확인해 보겠습니다. 자동차가 과속방지턱을 넘을 때 차체가 출렁거리다가 금세 멈추는 장면을 떠올려 보시겠습니까? 이때 차체의 무게(질량), 바퀴 위의 코일 스프링(용수철), 그리고 충격을 흡수하는 오일 쇼크업소버(감쇠기)가 어우러진 구조를 질량-용수철-감쇠기(Mass-Spring-Damper) 시스템이라고 부릅니다 [2], [3].
위 그림처럼 벽에 연결된 질량 $m$의 물체가 오른쪽으로 $y(t)$만큼 움직였을 때 작용하는 힘들을 하나씩 따져 보겠습니다. 첫째, 용수철은 늘어난 길이 $y(t)$만큼 원래 자리로 돌아가려는 탄성 복원력을 발휘하므로 훅의 법칙에 의해 $F_k = -k y(t)$가 됩니다. 둘째, 기름이 채워진 감쇠기는 속도가 빠를수록 움직임을 강하게 방해하므로 감쇠력 $F_c = -c y'(t)$가 작용하지요. 셋째, 외부에서 물체를 밀어주는 외력 $F_{\text{ext}}(t)$가 있을 수 있습니다. 이제 뉴턴의 제2법칙 $m y''(t) = \sum F$에 이 세 가지 힘을 모두 집어넣어 보겠습니다.
$$ m y''(t) = -k y(t) - c y'(t) + F_{\text{ext}}(t) $$이 식에서 종속변수 $y$가 들어있는 항들을 모두 왼쪽으로 넘기면 아주 익숙한 표준형이 완성됩니다.
$$ m y''(t) + c y'(t) + k y(t) = F_{\text{ext}}(t) $$자, 이제 우리가 배운 세 가지 기준으로 이 공학 방정식을 진단해 볼까요? 독립변수가 시간 $t$ 하나뿐이므로 상미분방정식(ODE)이고, 최고계 도함수가 $y''(t)$이므로 2계입니다. 또한 $y, y', y''$가 모두 상수 $m, c, k$와 1차 결합으로만 묶여 있으므로 선형 방정식이지요. 만약 외력 $F_{\text{ext}}(t) = 0$이면 스스로 흔들리는 자유 진동을 뜻하는 2계 선형 제차 방정식이 되고, 외력이 있으면 강제 진동을 뜻하는 비제차 방정식이 됩니다 [1], [2].
놀라운 사실은 전혀 다른 분야인 전기공학의 직렬 RLC 회로에서도 수학적으로 똑같은 방정식이 튀어나온다는 점입니다 [3]. 인덕터 $L$, 저항 $R$, 커패시터 $C$가 직렬로 연결된 회로에 전압 $E(t)$를 걸어주면, 전류 $i(t) = q'(t)$와 전하량 $q(t)$ 사이에 키르히호프의 전압 법칙이 성립합니다. 각 부품에 걸리는 전압 강하를 모두 더하면 인가 전압과 같아지므로 다음과 같은 식이 만들어지지요.
$$ L q''(t) + R q'(t) + \frac{1}{C} q(t) = E(t) $$두 식을 나란히 놓고 비교해 보면 소름이 돋을 만큼 완벽한 짝꿍 구조를 발견할 수 있습니다. 기계의 질량(관성) $m$은 전기 회로의 인덕턴스 $L$과 똑같은 역할을 하고, 마찰을 일으키는 감쇠 계수 $c$는 전류를 방해하는 저항 $R$에 대응합니다. 또한 에너지를 저장하는 용수철 상수 $k$는 커패시턴스의 역수 $\frac{1}{C}$와 정확히 1:1로 맞물리지요 [2], [3]. 이처럼 미분방정식은 겉모습이 전혀 다른 기계의 진동과 전기의 공진 현상을 단 하나의 수학적 원리로 꿰뚫어 보게 해주는 최고의 언어입니다.
지금까지 배운 핵심 분류 기준과 공학적 특징을 아래 표에 한눈에 보기 쉽게 정리해 두었으니, 복습하실 때 나침반으로 삼으시기 바랍니다.
| 분류 기준 | 세부 범주 | 수학적 정의 및 특징 | 대표 방정식 및 물리적 실례 |
|---|---|---|---|
| 독립변수 수 | 상미분 (ODE) | 독립변수 1개, 상도함수 포함 | 낙하 물체 운동, 단진자, RLC 회로 |
| 편미분 (PDE) | 독립변수 2개 이상, 편도함수 포함 | 1차원 파동방정식, 슈뢰딩거 방정식 | |
| 최고계수 | 1계 (1st Order) | 최고 도함수 $y'$, 에너지 저장 1개 | 뉴턴의 냉각 법칙, 방사성 붕괴 |
| 2계 (2nd Order) | 최고 도함수 $y''$, 관성과 복원력 공존 | 질량-용수철 진동 시스템, 행성 궤도 | |
| 고계 ($n$th Order) | 최고 도함수 $y^{(n)}$ ($n \ge 3$) | 4계 보의 굽힘 방정식 | |
| 선형성 | 선형 (Linear) | $y, y', \dots$의 1차 결합, 중첩 성립 | 공학 제어 시스템, 선형 회로망 해석 |
| 비선형 (Nonlinear) | 도함수의 곱, 비선형 함수 합성 | 나비에-스톡스 방정식, 대진폭 진자 |
6. 연습 문제
문제 1 [미분방정식의 계수와 선형성 판정]
다음 네 가지 상미분방정식에 대하여 각각의 계수(Order)를 구하고, 선형(Linear)인지 비선형(Nonlinear)인지를 판정하며 그 수학적 근거를 서술하시오.
(가) $y'' + 4x y' + 2y = \cos x$ (나) $y' + y^2 = x$ (다) $x^2 y''' - 3x y'' + 4y' - 5y = e^x$ (라) $y'' + \sin y = 0$
출제 의도: 미분방정식의 기본 분류 기준인 계수와 선형성의 정의를 정확히 이해하고, 독립변수와 종속변수의 역할을 혼동하지 않고 실제 식에 적용할 수 있는지를 평가합니다.
풀이
먼저 (가)의 방정식 $y'' + 4x y' + 2y = \cos x$부터 차근차근 살펴보겠습니다. 식에 등장하는 도함수 중에서 가장 많이 미분된 항은 $y''$이므로 이 방정식의 계수는 2계입니다. 계수 함수 $4x$와 우변의 $\cos x$는 모두 독립변수 $x$만의 함수이고, 주인공인 $y, y', y''$는 서로 곱해지거나 거듭제곱 되지 않고 오직 1차로만 결합되어 있지요. 따라서 이 식은 2계 선형 비제차 상미분방정식입니다.
다음으로 (나)의 방정식 $y' + y^2 = x$를 확인해 볼까요? 최고계 도함수가 1번 미분된 $y'$이므로 계수는 1계인 것이 분명합니다. 그런데 종속변수 $y$가 제곱 형태인 $y^2$으로 들어가 있어 1차 결합이라는 선형성의 규칙을 어기고 있습니다. 그러므로 이 식은 1계 비선형 상미분방정식으로 분류됩니다.
세 번째로 (다)의 방정식 $x^2 y''' - 3x y'' + 4y' - 5y = e^x$를 진단해 보겠습니다. 가장 높은 미분 횟수를 가진 항이 $y'''$이므로 계수는 3계입니다. 각 도함수 앞에 곱해진 $x^2, -3x, 4, -5$와 우변의 $e^x$는 전부 독립변수 $x$에만 의존하며, $y$와 그 도함수들은 철저히 1차로만 나열되어 있지요. 따라서 이 방정식은 3계 선형 비제차 상미분방정식이 됩니다.
마지막으로 (라)의 방정식 $y'' + \sin y = 0$을 살펴보겠습니다. 최고계 도함수가 $y''$이므로 계수는 2계에 해당합니다. 하지만 종속변수 $y$가 비선형 초월함수인 사인 함수 $\sin y$ 안에 갇혀 있어 선형성이 완전히 파괴됩니다. 결국 이 식은 2계 비선형 상미분방정식(단진자 방정식)이라고 보시면 됩니다.
검토 및 핵심 정리: 선형성을 판정할 때 독립변수 $x$가 $\cos x$, $x^2$, $e^x$처럼 아무리 복잡하게 생겼더라도 선형성에는 아무런 영향을 주지 않습니다. 오직 미지의 또한 종속변수 $y$와 그 도함수들이 1차로만 결합되어 있는지를 확인하는 것이 핵심입니다.
문제 2 [뉴턴의 냉각 법칙 모델링]
온도가 $T_{\text{env}} = 20^\circ\text{C}$로 일정하게 유지되는 실내에 놓인 뜨거운 커피의 시간 $t$에 따른 온도 $T(t)$가 뉴턴의 냉각 법칙(물체의 온도 변화율은 물체와 주변 환경의 온도 차이에 비례한다)을 따를 때, (가) 이 현상을 지배하는 미분방정식을 수립하고 (나) 수립된 방정식의 계수와 선형성 및 제차 여부를 판정하시오.
출제 의도: 자연 현상의 물리적 서술을 수학적 기호로 번역하여 1계 선형 미분방정식으로 모델링하고, 이를 표준형으로 정리하여 분류하는 능력을 함양합니다.
풀이
먼저 물리적 문장을 수학 기호로 하나씩 번역해 보겠습니다. 시간 $t$에 대한 커피의 순간 온도 변화율은 도함수 $\frac{dT}{dt}$로 나타냅니다. 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 이 변화율은 커피의 현재 온도 $T(t)$와 실내 온도 $T_{\text{env}} = 20$의 차이 $(T - 20)$에 비례하지요. 이때 커피가 실내보다 뜨거우면($T > 20$) 온도는 점점 식어서 내려가야 하므로($\frac{dT}{dt} < 0$), 양의 비례상수 $k > 0$를 도입하고 마이너스 부호를 붙여 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$ \frac{dT}{dt} = -k(T - 20) $$이제 수립된 방정식의 우변을 전개하고 표준형으로 깔끔하게 정리해 볼까요? 종속변수 $T$가 포함된 항을 왼쪽으로 이항하면 다음과 같은 형태가 얻어집니다.
$$ \frac{dT}{dt} + kT = 20k $$마지막으로 완성된 방정식을 세 가지 기준으로 분류해 보겠습니다. 독립변수는 시간 $t$ 하나뿐이고 최고계 도함수는 $\frac{dT}{dt}$이므로 계수는 1계 상미분방정식입니다. 또한 종속변수 $T$와 그 도함수 $\frac{dT}{dt}$가 모두 1차 결합으로만 이루어져 있으므로 선형 방정식이지요. 우변의 $20k$가 0이 아니므로 비제차 방정식에 해당하며, 종합하면 1계 선형 비제차 상미분방정식이 됩니다.
검토 및 핵심 정리: 자연계의 많은 냉각 및 감쇠 현상은 이처럼 1계 선형 상미분방정식으로 모델링됩니다. 비례상수 $k$ 앞의 부호를 물리적 직관(온도가 높으면 식어야 함)에 맞추어 정확히 붙이는 습관이 매우 중요합니다.
문제 3 [선형 중첩 원리의 증명]
2계 제차 선형 상미분방정식 $L[y] = y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$의 두 해를 $y_1(x)$와 $y_2(x)$라 할 때, 임의의 상수 $c_1, c_2$에 대하여 이들의 일차결합 $y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$ 역시 동일한 미분방정식의 해가 됨을 단계별로 증명하시오.
출제 의도: 선형 미분 연산자의 대수적 성질을 직접 전개하여 선형 방정식의 가장 강력한 무기인 중첩의 원리가 성립하는 수학적 근거를 명확히 이해합니다.
풀이
증명의 목표는 $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$를 연산자 $L$에 넣었을 때 결과가 0이 나옴을 보이는 것입니다. 이를 위해 먼저 미분의 선형성을 이용하여 $y$의 1계 도함수와 2계 도함수를 각각 구해 보겠습니다.
$$ y' = (c_1 y_1 + c_2 y_2)' = c_1 y_1' + c_2 y_2' $$$$ y'' = (c_1 y_1' + c_2 y_2')' = c_1 y_1'' + c_2 y_2'' $$다음으로 구해 놓은 $y, y', y''$를 미분 연산자 $L[y]$의 식에 그대로 대입합니다.
$$ L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = (c_1 y_1'' + c_2 y_2'') + P(x)(c_1 y_1' + c_2 y_2') + Q(x)(c_1 y_1 + c_2 y_2) $$이제 괄호를 모두 풀어서 상수 $c_1$이 들어있는 항과 $c_2$가 들어있는 항끼리 끼리끼리 묶어 정리하겠습니다.
$$ L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = c_1 y_1'' + c_2 y_2'' + c_1 P(x)y_1' + c_2 P(x)y_2' + c_1 Q(x)y_1 + c_2 Q(x)y_2 $$$$ = c_1 \left[ y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1 \right] + c_2 \left[ y_2'' + P(x)y_2' + Q(x)y_2 \right] $$여기서 대괄호 안의 식은 각각 $L[y_1]$과 $L[y_2]$와 완벽하게 일치합니다. 문제의 가정에서 $y_1$과 $y_2$가 모두 $L[y] = 0$의 해라고 했으므로 $L[y_1] = 0$이고 $L[y_2] = 0$이 성립하지요. 이를 대입하면 최종 결과가 다음과 같이 0으로 떨어집니다.
$$ L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = c_1(0) + c_2(0) = 0 $$따라서 $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ 역시 방정식 $L[y] = 0$을 만족하는 정당한 해임이 증명되었습니다.
검토 및 핵심 정리: 이 증명이 성립한 이유는 미분 자체가 덧셈과 상수배를 보존하는 선형 연산자이고, $y, y', y''$가 모두 1차로만 결합되어 있었기 때문입니다. 만약 우변이 0이 아닌 비제차 방정식 $L[y] = g(x)$였다면 $L[y_1 + y_2] = 2g(x) \neq g(x)$가 되어 단순 중첩이 성립하지 않음을 꼭 주의하시기 바랍니다.
문제 4 [RLC 회로의 미분방정식 유도]
인덕턴스 $L = 0.5\text{ H}$, 저항 $R = 10\ \Omega$, 커패시턴스 $C = 0.02\text{ F}$가 직렬로 연결된 RLC 폐회로에 외부 교류 기전력 $E(t) = 100\sin(10t)\text{ V}$가 인가될 때, 시간 $t$에 따른 커패시터의 전하량 $q(t)$가 만족하는 미분방정식을 유도하고 최고계 도함수의 계수가 1인 표준형으로 정리하시오.
출제 의도: 전기 회로 시스템에 물리 법칙을 적용하여 2계 선형 미분방정식으로 변환하고, 수치 계수를 대입하여 방정식을 표준화하는 실무 능력을 기릅니다.
풀이
먼저 직렬 RLC 회로에서 전류와 전하량의 기본 관계부터 짚고 넘어가겠습니다. 시간 $t$에 따른 전류 $i(t)$는 전하량 $q(t)$의 순간 변화율이므로 $i(t) = q'(t)$가 되며, 전류의 변화율은 $\frac{di}{dt} = q''(t)$로 표현됩니다. 키르히호프의 전압 법칙(KVL)에 의해 각 부품에서 발생하는 전압 강하를 모두 더하면 외부에서 공급한 기전력 $E(t)$와 같아야 하므로 다음 식이 세워집니다.
$$ L q''(t) + R q'(t) + \frac{1}{C} q(t) = E(t) $$이제 문제에 주어진 수치 $L = 0.5$, $R = 10$, $C = 0.02$와 기전력 $E(t) = 100\sin(10t)$를 그대로 대입해 보겠습니다.
$$ 0.5 q'' + 10 q' + \frac{1}{0.02} q = 100\sin(10t) $$다음으로 분수 항인 $\frac{1}{0.02}$를 계산하면 $\frac{100}{2} = 50$이 되므로 식은 다음과 같이 깔끔해집니다.
$$ 0.5 q'' + 10 q' + 50 q = 100\sin(10t) $$마지막으로 최고계 도함수 $q''$ 앞의 계수 $0.5$를 1로 만들어 주기 위해 방정식 양변에 $2$를 곱합니다.
$$ q'' + 20 q' + 100 q = 200\sin(10t) $$이로써 전하량 $q(t)$에 대한 표준형 2계 선형 비제차 상미분방정식을 완벽하게 얻었습니다.
검토 및 핵심 정리: 전기 회로의 세 소자($L, R, 1/C$)는 미분방정식의 각 항($q'', q', q$)의 계수에 정확히 대응하며, 이는 기계 진동 시스템의 질량, 감쇠 계수, 용수철 상수와 수학적으로 똑같은 구조를 이룹니다.
문제 5 [해의 검증과 자명해]
1계 선형 상미분방정식 $x y' - y = x^2 \cos x$에 대하여, 함수 $y(x) = x \sin x + Cx$ (단, $C$는 임의의 상수)가 구간 $(-\infty, \infty)$에서 이 방정식의 해가 됨을 직접 대입하여 보이고, 항등적으로 0인 함수 $y \equiv 0$ (자명해, trivial solution)은 이 방정식의 해가 될 수 없는 이유를 설명하시오.
출제 의도: 미분방정식의 ‘해’가 갖는 정확한 수학적 정의를 점검하고, 제차 방정식과 달리 비제차 방정식에서는 자명해가 존재하지 않음을 확인합니다.
풀이
주어진 함수 $y(x) = x \sin x + Cx$가 해인지 확인하려면 식에 직접 대입하여 좌변과 우변이 같아지는지 보면 됩니다. 이를 위해 먼저 $y(x)$를 $x$로 미분해야 하는데, 첫 번째 항 $x \sin x$에는 곱의 미분법을 적용해야 합니다. 미분 결과는 다음과 같이 구해집니다.
$$ y'(x) = (1) \cdot \sin x + x \cdot \cos x + C = \sin x + x \cos x + C $$이제 원래 함수 $y(x)$와 방금 구한 도함수 $y'(x)$를 방정식의 좌변 $x y' - y$에 대입하여 전개해 보겠습니다.
$$ x y' - y = x(\sin x + x \cos x + C) - (x \sin x + Cx) $$$$ = x \sin x + x^2 \cos x + Cx - x \sin x - Cx $$식 안의 동류항들을 정리해 보면 $x \sin x$와 $-x \sin x$, 그리고 $Cx$와 $-Cx$가 서로 깔끔하게 지워집니다. 결국 좌변은 $x^2 \cos x$만 남게 되어 모든 실수 $x$에 대해 방정식의 우변과 완벽히 일치하므로, $y(x) = x \sin x + Cx$는 이 미분방정식의 해가 확실합니다.
한편 항등적으로 0인 함수 $y \equiv 0$이 왜 해가 될 수 없는지도 바로 확인해 볼까요? 만약 $y \equiv 0$이라면 그 도함수 역시 $y' \equiv 0$이므로 좌변에 대입했을 때 $x(0) - 0 = 0$이 됩니다. 그러나 우변은 $x^2 \cos x$로서 특정 점들을 제외하면 0이 아니지요. 따라서 모든 구간에서 $0 = x^2 \cos x$가 성립할 수 없으므로 $y \equiv 0$은 이 방정식의 해가 될 수 없습니다.
검토 및 핵심 정리: 우변이 0인 제차 선형 방정식 $L[y] = 0$에서는 언제나 $y \equiv 0$인 자명해가 해가 되지만, 이 문제처럼 우변에 0이 아닌 항 $g(x)$가 있는 비제차 방정식에서는 $L[0] = 0 \neq g(x)$이므로 자명해가 결코 해가 될 수 없음을 꼭 기억하시기 바랍니다.
참고문헌
- Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10th ed., Wiley, 2011.
- Zill, D. G., Advanced Engineering Mathematics, 7th ed., Jones & Bartlett Learning, 2021.
- O’Neil, P. V., Advanced Engineering Mathematics, 8th ed., Cengage Learning, 2017.
- Greenberg, M. D., Advanced Engineering Mathematics, 2nd ed., Pearson, 1998.
- Boyce, W. E., DiPrima, R. C., & Meade, D. B., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11th ed., Wiley, 2017.